Tananyag

dscf0002.jpg

Sztochasztikus folyamatok

A tantárgy célja, hogy rövid és valamelyest precíz bevezetést adjon a sztochasztikus folyamatok általános elméletébe. A sztochasztikus folyamatok elméletének számos tárgyalása ismert. Az egyes megközelítések az elmélet más és más aspektusát hangsúlyozzák. Mi a sztochasztikus folyamatokat a pénzügyi matematika szemszögéből tárgyaljuk. A tantárgy vázát a sztochasztikus integrál fogalma adja. A sztochasztikus integrált mint a véletlen elleni befektetési folyamat nettó eredményét interpretáljuk. A sztochasztikus integrállal kapcsolatban két kérdés vethető fel: Mikor létezik és hogyan számolható? A sztochasztikus integrál két fajta integrátor folyamat esetén definiálható: ha az integrátor trajektóriái véges változásúak, illetve, ha az integrátor lokális martingál. Az első típusú folyamatra a kanonikus példát a Poisson-folyamat adja, a második típusra a kanonikus példát a Wiener-folyamat szolgáltatja. Ha valamely folyamat egy korlátos változású folyamat és egy lokális martingál összege, akkor a folyamatot szemimartingálnak mondjuk. Korlátos változású folyamat esetén a sztochasztikus integrál mint az integrátor trajektóriái segítségével kimenetelenként definiálható. Lokális martingál esetén a sztochasztikus integrál csak valószínűségben konvergál. Szemimartingálok esetén a sztochasztikus integrál a korlátos változású rész és a lokális martingál rész szerinti integrál összegeként definiálható. A sztochasztikus integrál segítségével felírható a parciális integrálás formulája, amely segítségével definiálható a kvadratikus variáció.

A sztochasztikus integrállal kapcsolatos számolási szabályok a következők:

  • A kvadratikus variációt definiáló parciális integrálás formulája

Graph

  • A sztochasztikus integrálok kvadratikus variációjára vonatkozó polaritási formula

Graph

  • A sztochasztikus integrál szerinti integrált megadó asszociativitási szabály

Graph

  • A Newton-Leibniz formula általánosításának tekinthető Ito-formula

Graph

A parciális integrálás formulája speciális esete az Ito-formulának. A sztochasztikus integrál definiálása és az Ito-formula, illetve a parciális integrálás formulájának, indoklása után az Ito-formula legegyszerűbb alkalmazásait mutatjuk be.

Legfontosabb témakörök

Sztochasztikus analízis

A sztochasztikus analízis a sztochasztikus folyamat kiegészítése. A tárgy során részletesen igazoljuk azokat az állításokat, amelyek pontos tárgyalására a sztochasztikus folyamatok tárgy tárgyalása során nem volt mód. Mivel a két tárgy oktatása párhuzamosan folyik, ezért a félév első felében a matematikai pénzügyek néhány kérdését tárgyaljuk. Mivel a sztochasztikus analízis eszköztára ekkor még nem áll rendelkezésre, ezért az elméletet diszkrét és véges időhorizonton mutatjuk be. A legfontosabb két állítás az eszközárazás első és második alaptétele.

Legfontosabb témakörök

Irodalomjegyzék

[1991, book]
Karatzas, I., & Shreve, S. E. (1991). Brownian Motion and Stochastic Calculus (2 ed.). New York: Springer-Verlang.
[1999, book]
Revuz, D., & Yor, M. (1999). Continuous Martingales and Brownian Motion. Berlin: Springer-Verlang.
[2002, book]
Medvegyev, P. (2002). Valószínűségszámítás. Budapest: Aula.
[2004, book]
Medvegyev, P. (2004). Sztochasztikus Analízis. Budapest: Typotex.
[2007, book]
Medvegyev, P. (2007). Stochastic Integration Theory. Oxford: Oxford University Press.
[2007, article | dmw.pdf]
Medvegyev, P. (2007). The asset pricing in finite and discrete time-horizon.
[2008, book | master.pdf]
Medvegyev, P. (2008). Sztochasztikus folyamatok.

 
tananyag.txt · Utolsó módosítás: 2010/08/24 13:58 szerkesztette: medvegyev
 
Recent changes RSS feed Creative Commons License Donate Powered by PHP Valid XHTML 1.0 Valid CSS Driven by DokuWiki