Pénzügyi matematika

tizes.jpg

A kurzus célja, hogy áttekintést adjon a pénzügyi matematika legfontosabb tételeiről. A tananyag a korábbi félévben tárgyalt Sztochasztikus folyamatok és Sztochasztikus analízis tárgyak folytatása.

A kurzus során a derivatív árazás elméletét mutatjuk be. Először diszkrét és véges időhorizonton tárgyaljuk a problémát. Bemutatjuk az eszközárazás első és második alaptételét. A diszkrét időhorizonton való árazás elmélete a végtelen dimenziós Banach-terek dualitás elméletének rendkívül elegáns alkalmazása. Ezt követően a folytonos időhorizonton való árazás elméletét tárgyaljuk. Az eszközárazás második alaptételében való teljesség megkötését folytonos időhorizonton az integrálreprezentációs tétel biztosítja, a martingálmérték létezését a Girszanov-tétel segítségével indokoljuk.

Európai opciók árazása

Európai opciók árazása diszkrét időhorizonton

Az eszközárazás első és második alaptétele segítségével az európai típusú származtatott termékek árazása diszkrét és véges időhorizont mellett viszonylag egyszerűen elintézhető: Tegyük fel, hogy valamely követelésre teljesül a

Graph

előállítás, ahol a bal oldalon a követelés áll, a jobb oldalon egy a követelést replikáló stratégia. A replikáló stratégia két részből áll. Egyrészt egy induló kontansból, másrészt a kumulált árfolyamnyereséget megadó “sztochasztikus integrálból”. A replikálást leíró modellben az egyedüli problémát az jelenti, hogy a replikáló portfolióban szereplő “sztochasztikus integrál” pénzügyi szempontból értelmetlen, ugyanis különböző időszakokhoz tartozó árak esetén értelmetlen közvetlenül árfolyamdifferenciát számolni. Éppen ezért feltesszük, hogy az árfolyamok, illetve a követelés már eleve diszkontálva vannak. Ilyenkor a nincs arbitrázs követelmény miatt az egyedüli lehetséges ár az előállításban szereplő konstans, vagyis

Graph

A kérdés csak az, hogy miként lehet a konstanst egyszerűen és elegánsan kifejezni? Mivel diszkrét időhorizonton mindig feltehető, hogy a követelés integrálható a martingálmérték szerint, ezért az előállításban szereplő “sztochasztikus integrál” valódi martingál, így az előállításban szereplő összeg várható értéke nulla. Következésképpen

Graph

A modell ezen interpretációjában a diszkontálásra használt kötvénnyel való közvetlen kereskedés nem tárgya a modellnek. Ennek oka, hogy a változókat már diszkontálva tekintjük, így a kötvényre vonatkozó árfolyamdifferencia minden időszakban azonosan nulla. Ha a kötvénnyel való kereskedést is be akarjuk a modellbe illeszteni, akkor be kell vezetni az önfinanszírozó portfólió fogalmát, amely definíció szerint a

Graph

azonosság teljesülését jelenti. Az új modellben a replikálás tényét a

Graph

követelmény jelenti, vagyis az önfinanszírozó portfolió értékét a periódus végén megadó valószínűségi változónak azonosnak kell lenni a periódus végén esedékes követeléssel. Az önfinanszírozás feltétele miatt az egyenlőség triviálisan “integrál alakba” írható. A modell előnye, hogy miközben az önfinanszírozás feltétele invariáns a diszkontálásra a feltétel egyértelműen rögzíti a diszkontálásra használt kötvény nagyságát a portfolióban. A diszkontált önfinanszírozó portfoliót “integrál alakba” írva az első gondolatmenet szerint

Graph

Európai opciók árazása folytonos időhorizonton

A félév legnagyobb részében a folytonos időhorizont esetét vizsgáljuk. Szemben a diszkrét időhorizonttal, folytonos időhorizont esetén nem különböztetjük meg az első és a második alaptételt. Matematikai szempontból az integrálreprezentációs tételt és a Girszanov-tételt kell belátni. Folytonos időhorizont esetén az árak mozgását leíró modellt is korlátozni kell. Az alapul vett modell az eszközárazás diffúziós modellje.

Graph

Graph

Jelölje

Graph

a kockázat piaci árát. A Girszanov-transzformáció segítségével definiáljuk a

Graph

mértéket. Az új mérték mellett a diszkontált részvényárak lokális martringált alkotnak. Az elmélet fő eredménye a

Graph

árazási képlet. A képlet igazolásához fel kell tenni, hogy a követelés alulról korlátos legyen és hogy a képletben szereplő integrál létezzen. Konkrét árazási formulák kiszámolásához fel kell tenni, hogy a model paraméterei konstansok. Ilyenkor szokás Black-Scholes modellről beszélni.

Amerikai opciók árazása

Amerikai opcióknál nem egy kitüntetett időpontban érvényes a kifizetés, hanem a termék teljes élettartalma során, tetszőleges megállási idő mentén lehívható. Amerikai opciók esetén a H kifizetés nem egyetlen időpontra vonatkozik, vagyis nem egy valószínűségi változó, hanem egy folyamat. Feltételezzük, hogy létezik egyetlen martingálmérték. Az alábbiakban a várható érték és a feltételes várható érték a kockázatsemleges mérték szerint értendő. Az európai opciókhoz hasonlóan a valódi, a “statisztikai” mérték a probléma megoldásában nem játszik szerepet.

Véges és diszkrét időhorizont

Ilyenkor az időhorizont a

Graph

diszkrét időpontok sorozata. Az amerikai opció megoldása visszavezethető a

Graph

optimális megállítás problémára. A szuprémum az összes megállási idő szerint értendő. A visszavezethető kifejezés fontos, ugyanis a maximum képzése legjobb esetben is csak az egyik fél szándékait reprezentálja, másrészt nem világos, hogy a kockázatmentes mérték mellett miért akarna bárki is várható érték szerint optimalizálni. Másképpen megfogalmazva az optimális megállítás feladata segít a kölcsönösen elfogadható ár meghatározásában, az árat elsősorban az alkalmas fedezési stratégiák határozzák meg.

Az optimális megállítás problémája és a Snell burkoló

Az optimális megállítás problémájának megoldása céljából definiáljuk az

Graph

sorozatot, amelyet Snell-burkolónak szokás mondani. Világos, hogy az n=0 értékhez tartozó érték éppen az optimális megoldás értéke. Tekintettel arra, hogy a megállási idők száma nem feltétlenül megszámlálható a képletben szuprémum alatt lényeges szuprémum értendő. Érvényes a következő idő szerint hátrafelé haladó iteratív algoritmus:

Graph

Graph

A Snell-burkoló a legkisebb olyan szupermartingál, amely dominálja a kifizetések H folyamatát. Az optimális megállítás problémájának legkisebb optimális megoldása a

Graph

megállási idő. Az optimális megállási idő nem egyértelmű. Valamely megállási stratégia optimalitásának szükséges és elegendő feltétele hogy egyrészt teljesüljön a

Graph

egyenlőség, valamint hogy az

Graph

megállított Snell-burkoló martingál legyen.

Az amerikai opciók árazása és a Doob-Meyer felbontás

Az amerikai opciók árazási problémájának megoldását a Doob-Meyer dekompozició és a Snell-burkoló segítségével határozhatjuk meg. Véges időhorizonton a Doob-Meyer dekompozició szerint minden szubmartingál felbontható egy martingál és előrejelezhető, növekedő folyamat összegére.

Graph

Szupermartingálok, így a diszkontált kifizetés folyamathoz tartozó Snell-burkoló esetén is, a Doob-Meyer felbontás

Graph

módon írható. Mivel a feltételezés szerint a piac teljes, ezért van olyan önfinanszírozó stratégia, amelyre

Graph.

Mivel a kockázatsemleges mérték mellett a diszkontált értékfolyamat martingál, ezért

Graph

Ebből következően, felhasználva, hogy létezik optimális megoldás, vagyis hogy a szuprémum helyébe maximum írható

Graph

és

Graph

A két összefüggés csak úgy teljesülhet, ha egy valószínűséggel

Graph

ugyanis a megállási opciókról szóló tétel miatt

Graph

Vagyis találtunk egy olyan szuper-replikáló stratégiát, amelyhez van olyan megállási stratégia, amelyre egyenlőség van. Ezen stratégia induló értéke éppen az amerikai opció ára. Ha ugyanis az ár nagyobb lenne, akkor a követelést eladva, vagyis a követelés kifizetését elvállalva, és felépítve a szuper-replikáló portfoliót kockázatmentes profithoz juthatnánk, ugyanis a szuper-replikáció miatt bármikor ki tudjuk elégíteni a követelést. Ha az ár kisebb lenne, akkor a követelést, vagyis a lehívási jogot megvéve, a fedező stratégiát eladva, majd az optimális időpontban a követelést és a fedező portfoliót egyenlegezve jutnánk kockázatmentes profithoz. A

Graph

optimális megállási idő mellett egy további optimális megállítási szabály meghatározásához tekintsük a

Graph

szabályt. Ha a minimum után szereplő feltétel nem teljesül, akkor a megállási idő értéke legyen az utolsó időpont. Az így definiált megállási idő az utolsó optimális lehívási idő.

Véges és folytonos időhorizont

Az amerikai opciók elméletét folytonos időhorizont esetén két szinten tárgyaljuk. Először absztrakt feltételek mellett vizsgáljuk meg a kérdést. Ilyenkor a tárgyalás emlékeztet a diszkrét véges időhorizonton bemutatottra. A folytonos időhorizont miatt két technikai probléma lép fel.

  • Az első gond az, hogy mivel a Snell-burkoló elemei csak majdnem mindenhol értelemben definiálhatóak nem triviális, hogy folytonos időhorizonton miként kontruálható meg a Snell-burkoló, vagyis miként fűzhetőek össze az egyes nullmértékű halmazok egyetlen nullmértékű halmazzá.
  • A második probléma abból származik, hogy folytonos időhorizonton az optimális megállítást biztosító megállási idő létezése szintén nem evidens.

Második lépésben az amerikai opciók árazási formuláját Ito-diffúziók esetén külön is megvizsgáljuk. Feltételezzük tehát, hogy az alapfolyamat a kockázatsemleges mérték alatt Ito-diffúziót alkot. Ito-diffúzión az

Graph Graph

alakú autonóm sztochasztikus differenciálegyenletek által definiált folyamatokat értjük. Az Ito-diffúziók trajektóriái folytonosak és a folyamat erős Markov-tulajdonságú.

Közgazdasági megfontolások alapján az amerikai opció ára folytonos időhorizonton is a

Graph

optimális megállítás értékével egyezik meg. A várható értéket az x értékből kiinduló, és így az x pont által egyértelműen meghatározott megoldásfolyamat által generált mérték szerint kell venni. Természetesen a feladatot hordozó valószínűségi mezőn a kockázatsemleges mérték van értelmezve.

Az optimális megállítás feladatának megoldásához definiáljuk a szuperközepes, a szuperharmonikus és az excesszív függvényeket. A szuperharmonikus függvények egyrészt alulról félig folytonosak, másrészt tetszőleges megállási idő esetén

Graph

Az excesszív függvények esetén az alulról félig folytonosság mellett csak az egyszerűbb

Graph

egyenlőtlenséget kell megkövetelni. A tárgyalás egyik fontos építőeleme annak igazolása, hogy a szuperharmonikus és az excesszív függvények megegyeznek.

Ha a g kifizető függvény folytonos, akkor az optimális megállítás értéke éppen a g legkisebb szuperharmonikus majoránsával egyezik meg. Az optimális megállítás problémájának általában nincs mindig megoldása, de ha van, akkor az egyik optimális megállási időt a

Graph

úgynevezett folytatási tartományból való első kilépés ideje szolgáltatja. Véges időhorizonton az amerikai put opcióknak mindig van megoldása. A megoldás létezésének igazolásához ki kell használni azt, hogy a put opciók kifizető függvénye korlátos. Az optimum értékét a

Graph

induló értékből a

Graph

iterációval számolhatjuk ki. A feladat diszkretizálható és az optimumot elegendő egy egyre sűrűsödő diszkrét felosztásra számolni. A Doob-Meyer dekompozíció igazolása folytonos időhorizonton jóval nehezebb mind diszkrét időhorizonton. Ettől eltekintve a folytonos időhorizont tárgyalása azonos a diszkrét esetben bemutatottal.

Legfontosabb témakörök

Pénzügyi matematika néhány kérdése

A pénzügyi matematika néhány speciális kérdését tárgyaljuk. Többek között az eszközárazás alaptételeit. Először a diszkrét időhorizonton, majd a folytonos időhorizonton is.

Legfontosabb témakörök

Irodalomjegyzék

[2004, book]
Elliot, R. J., & Kopp, E. P. (2004). Mathematics of Financial Markets. Berlin: Springer.
[2002, book]
Baxter, M., & Rennie, A. (2002). Pénzügyi kalkulus. Budapest: Typotex.
[2004, article | hansenrichard.pdf]
Hansen, L. P., & Richard, S. F. (2004). The Role of Conditioning Information in Deducing Testable Restrictions Implied by Dynamic Asset Pricing Models.

 
tananyag.txt · Utolsó módosítás: 2010/08/24 13:58 szerkesztette: medvegyev
 
Recent changes RSS feed Creative Commons License Donate Powered by PHP Valid XHTML 1.0 Valid CSS Driven by DokuWiki