Dinamikus és sztochasztikus modellek

A tananyag célja, hogy segítséget adjon, illetve felkészítsen a Stokey-Lucas, illetve a Ljungqvist-Sargent könyvek olvasására.

Determinisztikus dinamikus programozás

A determinisztikus dinamikus programozás alapproblémja a következő:

Graph

A feladat szerint meghatározandó a legnagyobb diszkontált hasznosságot biztosító út. Valamely út akkor lehetséges, ha teljesül rá az

Graph

feltétel, ahol Graph az egy lépésben lehetséges átmeneteket biztosító halmazértékű leképezés. A tényleges alkalmazásokban a Graph halmazértékű leképezés általában folytonos és konvex, az Graph célfüggvény pedig szigorúan konkáv, korlátos és általában deriválható, valamint Graph.

A probléma megoldására alapjában véve két megközelítés ismert.

Az első, az úgynevezett Bellman-elv szerint a feladathoz hozzárendelendő a

Graph

Bellman egyenlet. Általános körülmények között Graph és az optimalizációs feladat vizsgálata visszavezethető a függvényegyenlet vizsgálatára. Például amennyiben a célfüggvény korlátos és a diszkontfaktor egynél kisebb, akkor egy sorozat pontosan akkor optimális, ha kielégíti a

Graph

elsőrendű differencia egyenletet.

A másik megközelítés akkor alkalmazható, ha az optimum belső pont. Ilyenkor teljesülnek a

Graph

Euler egyenletek. Az egyelet másodrendú és az optimális megoldás a gyakorlatban szokásos konvexitási és deriválhatósági feltételek teljesülése esetén a kezdeti feltétel mellett kielégíti a

Graph

úgynevezett tranzverzalitási feltételt.

Markov-folyamatok

Szemben a sztochasztikus analízissel, ahol a folyamatok trajektóriáira koncentrálunk, a Markov-folyamatok elméletében a folyamatok által felvett állapotok eloszlásait próbáljuk kiszámolni. Másképpen fogalmazva, a sztochasztikus analízis objektumai a valószínűségi mezőn értelmezett valószínűségi változók, a Markov-folyamatok elméletében a megfigyelések által kijelölt fázistéren értelmezett eloszlásokat vizsgáljuk. A sztochasztikus analízisben a folyamat “logikáját” feltételes valószínűséggel, vagy feltételes várható értékkel adjuk meg, a Markov-folyamatok elméletében a fázistéren értelmezett, a folyamat időbeli alakulása által generált regresszív feltételes valószínűségek dinamikáját vizsgáljuk.

Diszkrét és folytonos időhorizonton értelmezett Markov-láncok

A Markov-lánc definíciója az irodalomban nem egységes. Egyes szerzők, a Markov-láncokat a diszkrét időhorizonttal azonosítják. Mi diszkrét állapotterű és stacionárius Markov-folyamatok esetén beszélünk Markov-láncról. A diszkrét időhorizonton értelmezett stacionárius Markov-folyamatok elmélete különösen egyszerű. Az átmenetvalószínűségek meghatározásához elegendő az egy időszakhoz tartozó átmenetvalószínűség mátrix hatványait tekinteni.

Folytonos időhorizonton értelmezett Markov-folyamatok

Átmenetvalószínűségek

A Markov-folyamatok állapotátmeneteinek feltételes eloszlásait az

Graph

módon jelölt átmenetvalószínűségek segítségével írhatjuk le. Mivel a Markov-feltétel miatt a jövő állapot eloszlása nem függ a múlttól, csak a jelentől, az átmenetvalószínűség, a jelen ismeretében, a jövőbeli valószínűségek meghatározásához szükséges minden releváns információt tartalmaz. Az átmenetvalószínűségekre vonatkozó legfontosabb összefüggés az

Graph

Chapman–Kolmogorov-azonosság. Az azonosság interpretációja szerint tetszőleges két időpont közötti átmenetvalószínűség bármely a két időpont között elhelyezkedő időpontban lehetséges állapotokhoz tartozó feltételes átmenetvalószínűségek súlyozott összege. Az azonosság a teljes valószínűség tétel, vagyis a sztochasztikus analízisből is ismert torony szabály, közvetlen alkalmazása Markov-folyamatok átmenetvalószínűségeire.

Átmenetvalószínűségekhez rendelt operátorok

Tetszőleges átmenetvalószínűség segitségével két operátort definiálhatunk. A

Graph

hátra operátor függvényekhez függvényt rendel. Interpretációja szerint a jövőben remélt hasznosságot adja meg feltéve, hogy a hasznosságot a fázistéren értelmezett Graph függvény írja le és feltéve, hogy a jelenben a rendszer az Graph állapotban volt.

Graph

előre operátor a jelen időpontban megfigyelt, feltétel nélküli eloszlásához a jövőben érvényes, ugyancsak feltétel nélküli eloszlást rendeli.

A két operátor tekinthető egymás duálisának, ugyanis érvényes a

Graph

egyenlőség.

Kolmogorov egyenletek és infinitezimális generátorok

Az átmenetvalószínűségeket a Kolmogorov-egyenletek segítségével határozhatjuk meg. A Kolmogorov-egyenleteket az idő szerinti deriválással és a Chapman–Kolmogorov-azonosság alkalmazásával írhatjuk fel. Két fajta Kolmogorov-egyenlet létezik: az előre és a hátra felé haladó. A hátra felé haladó egyenletek a korábbi időpont szerinti

Graph

deriválással kaphatóak, az előre haladóak a későbbi időpont szerinti

Graph

deriválással származtathatók. Mivel a Kolmogorov-egyenletek a kezdő vagy a vég időpont szerinti deriválással kapjuk az egyenletek az átmenetvalószínűségek lokális változásait írják le. A Markov-modellezés gyakran a lokális átmenetvalószínűség megváltozásából, mint külső adatból indul ki és a Kolmogorov-egyenletek megoldásával kapjuk meg az átmenetvalószínűségeket. A homogén Markov-folyamatok Kolmogorov-egyenleteiben szereplő “lokális adatokat” infinitezimális generátornak szokás mondani.

Legfontosabb témakörök

Irodalomjegyzék

[1989, book]
Stokey, N. L., & Lucas, J. R. E. (1989). Recursive Methods in Economic Dynamics. Cambridge, Massachusetts and London, England: Harvard University Press.
[2000, book]
Ljungqvist, L., & Sargent, T. J. (2000). Recursive Macroeconomic Theory Massachusetts Institute of Technology.

 
tananyag.txt · Utolsó módosítás: 2010/08/24 13:57 szerkesztette: medvegyev
 
Recent changes RSS feed Creative Commons License Donate Powered by PHP Valid XHTML 1.0 Valid CSS Driven by DokuWiki